Lekcja • Matematyka
Lekcja 8. Dodawanie i odejmowanie liczb mieszanych
Dwie sensowne strategie i wybór wygodniejszej w zależności od przykładu.
Po co jest ta lekcja
Liczby mieszane pojawiają się bardzo często w trudniejszych zadaniach na ułamkach.
Uczeń nie powinien znać tylko jednego mechanicznego algorytmu.
W praktyce warto umieć wybrać wygodniejszą strategię:
- czasem lepiej rozdzielić część całkowitą i ułamkową
- czasem bezpieczniej od razu zamienić wszystko na ułamki niewłaściwe
Przypomnienie: czym jest liczba mieszana
Liczba mieszana składa się z:
- części całkowitej
- części ułamkowej
Na przykład:
$$2\frac{3}{5}$$
oznacza:
$$2 + \frac{3}{5}$$
To bardzo ważne, bo właśnie na tym opiera się pierwsza strategia liczenia.
Strategia 1. Rozdziel część całkowitą i ułamkową
Spójrz na przykład:
$$2\frac{1}{5} + 3\frac{2}{5}$$
Możemy policzyć osobno:
- części całkowite: $2 + 3 = 5$
- części ułamkowe: $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
Zatem:
$$2\frac{1}{5} + 3\frac{2}{5} = 5\frac{3}{5}$$
To jest bardzo wygodne, gdy ułamkowe części mają już ten sam mianownik albo łatwo je dodać.
Gdy z dodawania powstaje dodatkowa całość
Spójrz na taki przykład:
$$1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{4}$$
Najpierw liczymy osobno:
- część całkowitą: $1 + 2 = 3$
- część ułamkową: $\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$
Otrzymujemy:
$$3 + \frac{5}{4}$$
Ale:
$$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$$
czyli:
$$3 + \frac{5}{4} = 4\frac{1}{4}$$
To pokazuje, że po dodawaniu części ułamkowych może pojawić się jeszcze jedna pełna całość.
Strategia 2. Zamień na ułamki niewłaściwe
Czasem tak jest po prostu bezpieczniej.
Spójrz na przykład:
$$1\frac{3}{4} + 2\frac{1}{6}$$
Zmieniamy obie liczby mieszane:
$$1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}
\qquad
2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$$
Teraz sprowadzamy do wspólnego mianownika:
$$\frac{7}{4} = \frac{21}{12}
\qquad
\frac{13}{6} = \frac{26}{12}$$
Dodajemy:
$$\frac{21}{12} + \frac{26}{12} = \frac{47}{12}$$
Na końcu wracamy do liczby mieszanej:
$$\frac{47}{12} = 3\frac{11}{12}$$
Czyli:
$$1\frac{3}{4} + 2\frac{1}{6} = 3\frac{11}{12}$$
Odejmowanie bez pożyczania
Najprostszy wariant wygląda tak:
$$5\frac{3}{7} - 2\frac{1}{7}$$
Liczymy osobno:
- część całkowitą: $5 - 2 = 3$
- część ułamkową: $\frac{3}{7} - \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$
Zatem:
$$5\frac{3}{7} - 2\frac{1}{7} = 3\frac{2}{7}$$
Odejmowanie z pożyczaniem
Trudniejszy przypadek pojawia się wtedy, gdy część ułamkowa w pierwszej liczbie jest za mała.
Przykład:
$$4\frac{1}{6} - 2\frac{5}{6}$$
Nie da się wygodnie odjąć:
$$\frac{1}{6} - \frac{5}{6}$$
więc pożyczamy jedną całość z liczby $4$.
Jedna całość to:
$$\frac{6}{6}$$
Zatem:
$$4\frac{1}{6} = 3 + \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = 3\frac{7}{6}$$
Teraz można liczyć:
- część całkowitą: $3 - 2 = 1$
- część ułamkową: $\frac{7}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ostatecznie:
$$4\frac{1}{6} - 2\frac{5}{6} = 1\frac{1}{3}$$
Kiedy lepiej wybrać którą strategię
Rozdzielanie części całkowitej i ułamkowej jest dobre, gdy:
- mianowniki są już takie same
- ułamkowe części są proste do policzenia
- nie pojawia się skomplikowane pożyczanie
Zamiana na ułamki niewłaściwe jest często bezpieczniejsza, gdy:
- mianowniki są różne
- w odejmowaniu trzeba pożyczać
- przykład jest dłuższy i łatwo się pogubić
Typowe błędy
- traktowanie liczby mieszanej jak iloczynu, a nie jak sumy części całkowitej i ułamkowej
- brak zamiany dodatkowej całości po dodaniu części ułamkowych
- błąd przy pożyczaniu jednej całości w odejmowaniu
- zostawianie wyniku w postaci nieskróconej
- niepotrzebne mieszanie dwóch strategii w połowie przykładu
Mini-checkpoint po lekcji
Po tej lekcji uczeń powinien umieć:
- dodać proste liczby mieszane
- odjąć liczby mieszane bez pożyczania
- odjąć liczby mieszane z pożyczaniem
- zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, gdy to wygodniejsze
- świadomie wybrać jedną z dwóch strategii liczenia