Lekcja • Matematyka
Lekcja 5. Sprowadzanie do wspólnego mianownika
Przygotowanie do dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach.
Po co jest ta lekcja
Do tej pory nauczyliśmy się skracać i rozszerzać ułamki.
Teraz użyjemy tej umiejętności w bardzo konkretnym celu: chcemy zapisać dwa lub więcej ułamków tak, żeby miały ten sam mianownik.
To jest konieczne przed:
- dodawaniem ułamków o różnych mianownikach
- odejmowaniem ułamków o różnych mianownikach
- porównywaniem niektórych ułamków w wygodniejszej postaci
Co znaczy wspólny mianownik
Spójrz na dwa ułamki:
$$\frac{1}{2} \qquad \text{oraz} \qquad \frac{3}{4}$$
Nie mają tego samego mianownika, więc jeden opisuje połówki, a drugi ćwiartki.
Żeby łatwo je porównywać albo dodawać, dobrze jest zapisać oba w tych samych częściach tej samej wielkości.
Najprościej tu wybrać mianownik $4$, bo:
$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$$
Wtedy mamy:
$$\frac{2}{4} \qquad \text{oraz} \qquad \frac{3}{4}$$
To właśnie jest sprowadzenie do wspólnego mianownika.
Jak znaleźć wspólny mianownik
Szukamy liczby, która jest wielokrotnością obu mianowników.
Przykład:
$$\frac{2}{3} \qquad \text{i} \qquad \frac{1}{6}$$
Wspólnym mianownikiem może być $6$, bo:
- $6$ jest wielokrotnością $3$
- $6$ jest też wielokrotnością $6$
Rozszerzamy więc tylko pierwszy ułamek:
$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$
A drugi zostaje bez zmian:
$$\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$$
Otrzymujemy:
$$\frac{4}{6} \qquad \text{i} \qquad \frac{1}{6}$$
Gdy trzeba rozszerzyć oba ułamki
Weźmy teraz:
$$\frac{1}{2} \qquad \text{i} \qquad \frac{2}{3}$$
Tutaj wspólnym mianownikiem może być $6$.
Rozszerzamy oba ułamki:
$$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$$
oraz
$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$
Zatem:
$$\frac{1}{2} \qquad \text{i} \qquad \frac{2}{3}$$
po sprowadzeniu do wspólnego mianownika dają:
$$\frac{3}{6} \qquad \text{i} \qquad \frac{4}{6}$$
Najmniejszy wspólny mianownik
W praktyce najwygodniej wybierać najmniejszy wspólny mianownik, bo wtedy obliczenia są prostsze.
Dla mianowników $4$ i $6$ wspólne wielokrotności to:
Najmniejsza z nich to $12$, więc to najlepszy wybór.
Przykład:
$$\frac{1}{4} \qquad \text{i} \qquad \frac{5}{6}$$
Sprowadzamy do mianownika $12$:
$$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$
oraz
$$\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$$
Jak myśleć o tym sensownie
Wspólny mianownik nie jest nową liczbą „znikąd”.
To tylko wygodny sposób przepisania tych samych wartości tak, aby wszystkie były wyrażone w tych samych częściach.
Można to czytać tak:
- zamiast połówek i trzecich chcemy mówić jednym językiem, na przykład szóstkami
- zamiast ćwiartek i szóstek chcemy mówić dwunastkami
Typowe błędy
- zmienianie mianownika bez odpowiedniej zmiany licznika
- wybieranie liczby, która nie jest wspólną wielokrotnością obu mianowników
- rozszerzanie tylko jednego z ułamków, gdy oba tego wymagają
- mylenie wspólnego mianownika ze wspólnym licznikiem
Mini-checkpoint po lekcji
Po tej lekcji uczeń powinien umieć:
- rozpoznać, czy dwa ułamki mają już wspólny mianownik
- sprowadzić dwa ułamki do wspólnego mianownika
- dobrać najmniejszy wspólny mianownik w prostych przykładach
- wyjaśnić, dlaczego po sprowadzeniu do wspólnego mianownika wartość ułamka się nie zmienia