Lekcja • Matematyka
Lekcja 12. Odwrotność liczby i dzielenie ułamków zwykłych
Zrozumienie zasady dzielenia przez mnożenie przez odwrotność.
Po co jest ta lekcja
Dzielenie ułamków wygląda na początku bardziej tajemniczo niż dodawanie czy mnożenie.
Dlatego warto najpierw zrozumieć jedną kluczową ideę:
- czym jest liczba odwrotna
- dlaczego w dzieleniu zamieniamy dzielenie na mnożenie
To będzie potem podstawą także do dzielenia liczb mieszanych.
Co to jest liczba odwrotna
Liczbą odwrotną do:
$$\frac{a}{b}$$
jest:
$$\frac{b}{a}$$
czyli po prostu zamieniamy miejscami licznik i mianownik.
Przykłady:
$$\frac{3}{5} \rightarrow \frac{5}{3}$$
$$\frac{7}{2} \rightarrow \frac{2}{7}$$
Liczba odwrotna ma tę ważną własność, że:
$$\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = 1$$
Liczba naturalna też ma odwrotność
Na przykład liczba:
$$4$$
może być zapisana jako:
$$\frac{4}{1}$$
Jej liczba odwrotna to:
$$\frac{1}{4}$$
To ważne, bo czasem w dzieleniu pojawi się liczba całkowita.
Najważniejsza zasada dzielenia ułamków
Gdy dzielimy przez ułamek, zamieniamy to na mnożenie przez jego odwrotność.
Czyli:
$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$
To jest najważniejszy wzór tej lekcji.
Najprostszy przykład
Spójrz na:
$$\frac{2}{3} : \frac{5}{7}$$
Zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność:
$$\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5}$$
Teraz liczymy jak zwykłe mnożenie ułamków:
$$\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{14}{15}$$
Dlaczego odwracamy drugi ułamek
To bardzo ważne: odwracamy tylko dzielnik, czyli drugi ułamek.
W wyrażeniu:
$$\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$$
nie zmieniamy pierwszego ułamka.
Zmieniamy tylko ten, przez który dzielimy:
$$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2}$$
Potem liczymy:
$$\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$$
Gdy można skrócić przed mnożeniem
Spójrz na przykład:
$$\frac{4}{9} : \frac{2}{3}$$
Najpierw zamieniamy:
$$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2}$$
Teraz widać skracanie:
- $4$ i $2$ można skrócić przez $2$
- $3$ i $9$ można skrócić przez $3$
Otrzymujemy:
$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2}{3}$$
Dzielenie ułamka przez liczbę naturalną
Przykład:
$$\frac{3}{4} : 2$$
Liczbę $2$ zapisujemy jako:
$$\frac{2}{1}$$
Zmieniamy dzielenie na mnożenie:
$$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$$
Dzielenie liczby naturalnej przez ułamek
Przykład:
$$2 : \frac{3}{5}$$
Najpierw zapisujemy:
$$2 = \frac{2}{1}$$
Potem:
$$\frac{2}{1} \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$$
Typowe błędy
- odwracanie pierwszego ułamka zamiast drugiego
- odwracanie obu ułamków
- zostawianie dzielenia i jednoczesne mnożenie liczników i mianowników
- brak skrócenia wyniku końcowego
- zapominanie, że liczba naturalna to też ułamek z mianownikiem $1$
Mini-checkpoint po lekcji
Po tej lekcji uczeń powinien umieć:
- znaleźć liczbę odwrotną do ułamka i liczby naturalnej
- zamienić dzielenie ułamków na mnożenie przez odwrotność
- poprawnie odwrócić tylko drugi ułamek
- obliczyć wynik i zapisać go w najprostszej postaci
- rozpoznać typowe błędy w dzieleniu ułamków