Lekcja • Matematyka
Lekcja 10. Mnożenie ułamków zwykłych
Licznik razy licznik, mianownik razy mianownik oraz skracanie przed i po mnożeniu.
Po co jest ta lekcja
W poprzedniej lekcji mnożyliśmy ułamek przez liczbę naturalną.
Teraz robimy kolejny krok: oba czynniki są ułamkami.
To bardzo ważna umiejętność, bo później będzie potrzebna:
- przy mnożeniu liczb mieszanych
- przy dzieleniu ułamków
- w wyrażeniach wielodziałaniowych
Główny algorytm
Spójrz na przykład:
$$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}$$
W mnożeniu ułamków:
- licznik mnożymy przez licznik
- mianownik mnożymy przez mianownik
Czyli:
$$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$$
Można to zapisać ogólnie:
$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$
Dlaczego ten algorytm ma sens
Można o tym myśleć tak:
- najpierw bierzemy jakąś część całości
- potem bierzemy część z tej części
To powoduje, że wynik zwykle staje się jeszcze mniejszy.
Na przykład:
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$
Połowa z jednej trzeciej to jedna szósta.
To dobry intuicyjny przykład, który pokazuje, że wynik mnożenia dwóch ułamków właściwych jest często mniejszy od obu czynników.
Najprostszy przykład
$$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}$$
Liczymy:
$$\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{2}{12}$$
Na końcu skracamy:
$$\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$
Czyli:
$$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$$
Skracanie po mnożeniu
W wielu przykładach najpierw liczymy iloczyny, a potem upraszczamy wynik.
Przykład:
$$\frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9}$$
Najpierw liczymy:
$$\frac{3 \cdot 10}{5 \cdot 9} = \frac{30}{45}$$
Potem skracamy:
$$\frac{30}{45} = \frac{2}{3}$$
Skracanie przed mnożeniem
To bardzo wygodna technika, bo pozwala uniknąć dużych liczb.
Spójrz na ten sam przykład:
$$\frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9}$$
Możemy najpierw skrócić:
- $3$ z $9$, bo obie liczby dzielą się przez $3$
- $10$ z $5$, bo obie liczby dzielą się przez $5$
Otrzymujemy:
$$\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{3}$$
czyli od razu:
$$\frac{2}{3}$$
To nazywamy skracaniem krzyżowym przed mnożeniem.
Kiedy wynik jest większy od 1
Nie zawsze wynik mnożenia ułamków jest mały.
Przykład:
$$\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}$$
Liczymy:
$$\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{12}{6} = 2$$
To pokazuje, że jeśli wśród czynników są ułamki niewłaściwe, wynik może być równy liczbie całkowitej albo od niej większy.
Kiedy warto od razu zauważyć skracanie
Przykład:
$$\frac{6}{7} \cdot \frac{14}{15}$$
Zamiast mnożyć od razu:
- $14$ i $7$ można skrócić przez $7$
- $6$ i $15$ można skrócić przez $3$
Dostajemy:
$$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$$
To dużo wygodniejsze niż liczenie:
$$\frac{84}{105}$$
a dopiero potem skracanie.
Typowe błędy
- dodawanie liczników i mianowników zamiast ich mnożenia
- mnożenie poprawne, ale bez skrócenia wyniku
- błędne skracanie liczb, które nie są w liczniku i mianowniku
- skracanie po jednej stronie bez zachowania równoważności działania
Mini-checkpoint po lekcji
Po tej lekcji uczeń powinien umieć:
- pomnożyć dwa ułamki zwykłe
- zapisać wynik w najprostszej postaci
- zastosować skracanie po mnożeniu
- zastosować skracanie przed mnożeniem
- rozpoznać, kiedy wynik może być równy liczbie całkowitej albo większy od $1$