Lekcja • Matematyka
Lekcja 9. Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną
Pomost między intuicją działania a pełnym algorytmem mnożenia ułamków.
Po co jest ta lekcja
Zanim zaczniemy mnożyć ułamki przez ułamki, warto dobrze zrozumieć prostszy przypadek:
- liczba naturalna razy ułamek
- ułamek razy liczba naturalna
To jest bardzo dobry pomost między intuicją „ile razy bierzemy tę samą część” a pełnym algorytmem mnożenia.
Co oznacza takie mnożenie
Spójrz na przykład:
$$3 \cdot \frac{2}{5}$$
To znaczy:
$$\frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5}$$
Czyli bierzemy trzy razy ten sam ułamek.
Skoro dodajemy trzy razy po dwie piąte, otrzymujemy:
$$3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$$
Dlaczego mnożymy tylko licznik
W wyrażeniu:
$$4 \cdot \frac{3}{7}$$
cały czas liczymy siódme części.
Nie zmienia się rodzaj części, więc mianownik zostaje taki sam.
Zmienia się tylko liczba tych części:
$$4 \cdot \frac{3}{7} = \frac{12}{7}$$
Można to zapamiętać tak:
$$n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b}$$
Ułamek razy liczba naturalna
Teraz podobny przykład:
$$\frac{3}{8} \cdot 5$$
Wynik jest taki sam jak w zapisie:
$$5 \cdot \frac{3}{8}$$
czyli:
$$\frac{3}{8} \cdot 5 = \frac{15}{8}$$
To dlatego, że w mnożeniu kolejność czynników nie zmienia wyniku.
Gdy wynik jest ułamkiem niewłaściwym
Spójrz na przykład:
$$2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$
To poprawny wynik, ale często warto zapisać go jeszcze jako liczbę mieszaną:
$$\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$$
Czyli:
$$2 \cdot \frac{4}{3} = 2\frac{2}{3}$$
Gdy wynik można skrócić
Przykład:
$$3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{9}$$
Ten wynik da się skrócić:
$$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$
Zatem:
$$3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{3}$$
Intuicja na przykładzie praktycznym
Wyobraź sobie, że jedna porcja ciasta to:
$$\frac{1}{4}$$
blachy.
Jeśli masz $3$ takie porcje, to masz:
$$3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
całej blachy.
To dobrze pokazuje sens mnożenia ułamka przez liczbę naturalną: powtarzamy tę samą część kilka razy.
Typowe błędy
- mnożenie jednocześnie licznika i mianownika przez liczbę naturalną
- zostawianie nieskróconego wyniku
- brak zamiany ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną, gdy jest to wygodne
- mylenie mnożenia z dodawaniem bez zrozumienia, że chodzi o wielokrotne dodawanie tego samego ułamka
Mini-checkpoint po lekcji
Po tej lekcji uczeń powinien umieć:
- obliczyć liczbę naturalną razy ułamek
- obliczyć ułamek razy liczbę naturalną
- wyjaśnić, dlaczego mianownik zostaje bez zmian
- skrócić wynik końcowy
- zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, gdy to potrzebne